【題目】已知函數(shù),,,令.

(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;

(2)若關于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.

【答案】(1)答案見解析;(2)2.

【解析】

(1)由題意可得.利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.,無極小值.

(2)法一:令,則.由導函數(shù)研究函數(shù)的最值可得的最大值為.據(jù)此計算可得整數(shù)的最小值為2.

法二:原問題等價于恒成立,令,則,由導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值為2.

(1),

所以.

;

,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.

,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以函數(shù),無極小值.

(2)法一:令 .

所以

.

時,因為,所以所以上是遞增函數(shù),

又因為.

所以關于的不等式不能恒成立.

時, .,

所以當時,;

時,,

因此函數(shù)是增函數(shù),在是減函數(shù).

故函數(shù)的最大值為.

,因為,

又因為上是減函數(shù),所以當時,.

所以整數(shù)的最小值為2.

法二:由恒成立知恒成立,

,則,

,因為,

,則為增函數(shù).

故存在,使,即,

時,,為增函數(shù),

時,,為減函數(shù).

所以,

,所以,

所以整數(shù)的最小值為2.

練習冊系列答案
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    1 2

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,且上的最小值為,求m的值.

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