【題目】如圖,空間幾何體,△、△、△均是邊長為2的等邊三角形,平面平面,且平面平面,為中點.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
(1)分別取,中點,,連接,,,,,通過面面平行的判定定理,證得面面,從而證得平面.(2)方法一(向量法):以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算二面角的余弦值.方法二(幾何法):過點作垂線,垂足為,連接.由此作出二面角的平面角并證明,解直角三角形求得二面角的余弦值.
(1)分別取,中點,,連接,,,,
由面面且交于,平面,有面
由面面且交于,平面,有面
所以,,所以,
由有,
,所以,
,所以面面,所以
(2)
法1:以點為原點,以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標系
由面,所以面的法向量可取
點,點,點,
,,
設面的法向量,所以,取
設二面角的平面角為,據(jù)判斷其為銳角.
法2:過點作垂線,垂足為,連接.
由(1)問可知又因為,所以平面,則有.
所以為二面角的平面角.
由題可知,所以,則
所以,
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線與直線的直角坐標方程.
(2)直線與軸的交點為,與曲線的交點為,,求的值.
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【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術;蘊含了極致的數(shù)學美和豐富的傳統(tǒng)文化信息,現(xiàn)有一幅剪紙的設計圖,其中的4個小圓均過正方形的中心,且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機取一點,則該點取自黑色部分的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,,且,.
(1)證明:平面;
(2)在線段上,是否存在一點,使得二面角的大小為?如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線的焦點為,軸上方的點在拋物線上,且,直線與拋物線交于,兩點(點,與不重合),設直線,的斜率分別為,.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當時,求證:直線恒過定點并求出該定點的坐標.
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【題目】如圖,在正方體ABCD-ABCD中,平面垂直于對角線AC,且平面截得正方體的六個表面得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為S,周長為l,則( )
A. S為定值,l不為定值 B. S不為定值,l為定值
C. S與l均為定值 D. S與l均不為定值
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【題目】關于函數(shù)
(1)是的極小值點;
(2)函數(shù)有且只有1個零點;
(3)恒成立;
(4)設函數(shù),若存在區(qū)間,使在上的值域是,則.
上述說法正確的序號為_______.
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【題目】設一個袋子里有紅、黃、藍色小球各一個現(xiàn)每次從袋子里取出一個球(取出某色球的概率均相同),確定顏色后放回,直到連續(xù)兩次均取出紅色球時為止,記此時取出球的次數(shù)為ξ,則ξ的數(shù)學期望為_____ .
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【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,其圖象關于直線對稱.給出下面四個結論:①將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)圖象關于原點對稱;②點為圖象的一個對稱中心;③;④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正確的結論為( )
A.①②B.②③C.②④D.①④
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