Question

四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，且MB=3PM，PB與平面ABC成30°角．
（1）求證：CM∥面PAD；
（2）求證：面PAB⊥面PAD；
（3）求點(diǎn)C到平面PAD的距離．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
（1）要證CM∥面PAD，只需求出向量

CM

與面PAD內(nèi)的向量

DP

、

DA

共面即可．
（ 2）過B作BE⊥PA，E為垂足．要證面PAB⊥面PAD，只需證明面PAB內(nèi)的向量

BE

垂直面PAD內(nèi)的直線PA、DA即可；
（3）利用

SD

在平面PAD的單位向量上的射影，求點(diǎn)C到平面PAD的距離．

解答：解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，C為坐標(biāo)原點(diǎn)O，
（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．
∵|PC|=2，∴|BC|=2

3

，|PB|=4．
得D（1，0，0）、B（0，2

3

，0）、
A（4，2

3

，0）、P（0，0，2）．
∵|MB|=3|PM|，
∴|PM|=1，M（0，

3

2

，

3

2

），

CM

=（0，

3

2

，

3

2

），

DP

=（-1，0，2），

DA

=（3，2

3

，0）．
設(shè)

CM

=x

DP

+y

DA

（x、y∈R），
則（0，

3

2

，

3

2

）=x（-1，0，2）+y（3，2

3

，0）?x=

3

4

且y=

1

4

，
∴

CM

=

3

4

DP

+

1

4

DA

．
∴

CM

、

DP

、

DA

共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．
（2）證明：過B作BE⊥PA，E為垂足．
∵|PB|=|AB|=4，∴E為PA的中點(diǎn)．
∴E（2，

3

，1），

BE

=（2，-

3

，1）．
又∵

BE

•

DA

=（2，-

3

，1）•（3，2

3

，0）=0，
∴

BE

⊥

DA

，即BE⊥DA．
而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．
∵BE?面PAB，∴面PAB⊥面PAD．
（3）解：由BE⊥面PAD知，
平面PAD的單位向量n₀=

BE

| BE |

=

1

2 2

（2，-

3

，1）．
∴CD=（1，0，0）的點(diǎn)C到平面PAD的距離
d=|n₀•

CD

|=|

1

2 2

（2，-

3

，1）•（1，0，0）|=

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及用向量法證明平行關(guān)系，同時(shí)考查向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法．突破點(diǎn)在于求出相關(guān)的向量所對應(yīng)的坐標(biāo)．