Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂，左準(zhǔn)線是l，若該雙曲線右支上存在點(diǎn)P，使PF₂等于P到直線l的距離，則該雙曲線離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}+1]$．

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)該雙曲線右支上存在點(diǎn)P，使PF₂等于P到直線l的距離，利用雙曲線的第二定義，可得x關(guān)于e的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍確定e的范圍．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x
∵該雙曲線右支上存在點(diǎn)P，使PF₂等于P到直線l的距離，
∴根據(jù)雙曲線的第二定義，可得ex-a=x+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴（e-1）x=a+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵x≥a，∴a+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a（e-1）
∴e²-2e-1≤0，
∵e＞1，∴∴e∈（1，$\sqrt{2}+1]$．
故答案為（1，$\sqrt{2}+1]$．

點(diǎn)評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了雙曲線的第二定義的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．