Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)、分別是線段，的中點(diǎn)，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，由正方形性質(zhì)及條件，可證明平面，從而可得，進(jìn)而證明平面，即可由面面垂直的判定定理證明平面平面；

（2）結(jié)合（1）及線面垂直關(guān)系，可得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面的法向量，即可由線面夾角的向量求法求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：

三棱柱中，， 為中點(diǎn)，

則，

是為正方形，點(diǎn)、分別是線段，的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，且，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以，

且，與相交，則平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>，平面平面，平面平面.

所以平面，

則.

又因?yàn)?/span>，，

所以平面，則.

所以.

又平面，，

所以平面，

從而.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，.

所以.

設(shè)平面的法向量為.

則，即，令，解得，

則，

設(shè)直線與平面所成的角為，

由直線與平面夾角的求法可得.