精英家教網(wǎng)如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)求二面角E-AC-B的大。
分析:(1)欲證PB∥平面AEC,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與平面AEC內(nèi)一直線平行即可,連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,則EO是△PDB的中位線則EO∥PB,滿足條件;
(2)取AD的中點(diǎn)F,連EF,F(xiàn)O,根據(jù)定義可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角,在△EOF中求出此角,而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ).
解答:解:(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC
又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB,所以AC⊥PB
連BD交AC于點(diǎn)O,連EO,
則EO是△PDB的中位線,
∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
(2)取AD的中點(diǎn)F,連EF,F(xiàn)O,
則EF是△PAD的中位線,
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位線,
∴FO∥AB,F(xiàn)O⊥AC由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角.
又FO=
1
2
AB=
1
2
PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ),
故所求二面角E-AC-B的大小為135°.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面平行的判定,以及二面角等有關(guān)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且 PA=AB=AC=2,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥PB;
(2)求證:PB∥平面AEC;
(3)求三棱錐P-AEC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60°.
(Ⅰ) 求證:平面A1BCD1⊥平面BDD1;
(Ⅱ)若二面角D1-BC-D的大小為45°,求直線CD與平面A1BCD1所成的角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•湖北模擬)如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).
(1)證明:AC⊥PB;
(2)證明:PB∥平面AEC;
(3)求二面角E-AC-B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60°.
(Ⅰ) 求證:平面A1BCD1⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)若D1D=BD,求四棱錐D-A1BCD1的體積.

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