Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

1 |x-3| 2，x=3

x≠3

，若關(guān)于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、5+b-2a=1
• B、b＜0
• C、x₁-x₂+x₃=3
• D、x₁²+x₂²+x₃²=9

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=f（x），由題意可得關(guān)于t的方程t²-at+b=0 只有一個(gè)正實(shí)數(shù)解為t=2．再由

1

|x-3|

=2，求得x的值，可得原方程有3個(gè)解x₁、x₂、x₃的值，由此可得結(jié)論．

解答： 解：分段函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：令t=f（x），
∵關(guān)于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解
x₁，x₂，x₃，
故關(guān)于t的方程t²-at+b=0 只有一個(gè)正實(shí)數(shù)解為t=2，
由

1

|x-3|

=2，求得x=-3.5，或x=3.5，
故原方程有3個(gè)解為 x₁=-3.5，x₂=3，x₃=3.5，
顯然D一定不正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．