解答題

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)＝x的兩個實根為x1和x2．

(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝x0，求證：x0＞－1；

(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|＝2，求b的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)證明：設(shè)g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1(a＞0)，由條件x1＜2＜x2＜4得即

　　∴－4a＜b＜－2a．

　　顯然由－4a＜－2a得a＞，即有2－＞－＞1－．

　　故x0＝－＞1－＝－1．

　　(2)解：由g(x)＝ax2＋(b－1)x＋1＝0可知x1x2＝＞0．

　　∴x1，x2同號．

　　若0＜x1＜2，則x2－x1＝2(負(fù)根舍去)，

　　∴x2＝x1＋2＞2，

　　∴g(2)＜0，

　　即4a＋2b－1＜0　�、�

　　∴(x2－x1)2＝－＝4．

　　∴2a＋1＝－(由a＞0，負(fù)根舍去)．

　　代入①式，得2＜3－2b，解得b＜．

　　若－2＜x1＜0，則x2＝－2＋x1＜－2(正根舍去)，

　　∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0　�、�

　　將2a＋1＝代入②式得2＜2b－1，

　　解得b＞，

　　綜上，當(dāng)0＜x1＜2時，b＜；

　　當(dāng)－2＜x1＜0時，b＞．


練習(xí)冊系列答案
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解答題

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c和一次函數(shù)g(x)＝－bx，其中a、b、c滿足a＞b＞c，a＋b＋c＝0(a、b、c∈R)．

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍．

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解答題

已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1，3)．

(1)

若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實數(shù)根，求f(x)的解析式；

(2)

若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

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解答題

已知二次函數(shù)，

(1)

若且，證明：的圖像與x軸有兩個相異交點；

(2)

證明：若對x1，x2，且x12，，則方程必有一實根在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)；

(3)

在(1)的條件下，是否存在，使成立時，為正數(shù)．

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解答題

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，滿足f(0)＝f(x)＝0，且f(x)的最小值是．

(1)

求f(x)的解析式；

(2)

設(shè)直線l∶y＝t2－t(其中0＜t＜，t為常數(shù))，若直線l與f(x)的圖象以及y軸這二條直線和一條曲線所圍成封閉圖形的面積是S1(t)，直線l與f(x)的圖象以及直線這二條直線和一條曲線所圍成封閉圖形的面積是S2(t)，已知，當(dāng)g(t)取最小值時，求t的值．

(3)

已知m≥0，n≥0，求證：．

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