Question

【題目】已知函數(shù)，．

（）求的值域．

（）若對(duì)于內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或．

【解析】

試題分析：

（）由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，據(jù)此計(jì)算可得的值域為．

（）原問題即，對(duì)于恒成立，

令，則，且的圖象開口向上，對(duì)稱軸為．據(jù)此分類討論有：

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無解；

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為：或．

試題解析：

（）∵在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

且，，，

∴的值域為．

（）對(duì)于內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，不等式恒成立等價(jià)于，對(duì)于恒成立，

令，則，

∵的圖象為拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為．

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴，

解得或，

∴；

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，解得，

∴無解；

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

∴，

解得或，

∴，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為：或．