Question

【題目】已知函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線方程為

（1）求的值；

（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；

（3）令如果的圖像與軸交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，利用切線方程求得，代入曲線可得關(guān)于的方程，與聯(lián)立可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)得到在上的單調(diào)性和最值，從而確定有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）采用反證法，假設(shè)，利用在上，中點(diǎn)坐標(biāo)公式和可化簡(jiǎn)整理得到，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，從而得到，與等式矛盾，可知假設(shè)不成立，從而證得結(jié)論.

由題意得：定義域?yàn)?/span>；

（1）在處的切線方程為：

，解得：

（2）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)

由（1）知：，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，

，解得：

（3），則

假設(shè)，則有：

…①；…②；

…③；…④

①②得：

由④得： ，即：

，即

令，由得：

設(shè)，

在上單調(diào)遞增

不成立，即假設(shè)不成立