【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,且,,.
(1)證明:平面平面;
(2)有一動(dòng)點(diǎn)在底面的四條邊上移動(dòng),求三棱錐的體積的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取中點(diǎn),連結(jié),,,由已知可得為等邊三角形,為等腰三角形,可得,,進(jìn)而可得平面平面,由勾股定理可證,再由面面垂直的性質(zhì)定理即可證得平面平面;
(2)結(jié)合圖形可知當(dāng)在點(diǎn)處,此時(shí)三棱錐的體積最大,而,故只需求三棱錐的體積即可.
如圖,取中點(diǎn),連結(jié),,,
因?yàn)?/span>,為的中點(diǎn),所以,
又底面為菱形,所以,又,
所以為等邊三角形,又為的中點(diǎn),
所以,又,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面,
又在等邊三角形中,,所以,
又在中,,,所以,
所以,所以,
又平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面.
(2)當(dāng)在點(diǎn)處,此時(shí)三棱錐的體積最大,
因?yàn)?/span>,,,
在菱形中,,,
所以,
由(1)知平面,,
所以,
所以三棱錐的體積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),,,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)().
(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(2)設(shè),求的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司采購(gòu)了一批零件,為了檢測(cè)這批零件是否合格,從中隨機(jī)抽測(cè)120個(gè)零件的長(zhǎng)度(單位:分米),按數(shù)據(jù)分成,,,,,這6組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中長(zhǎng)度大于或等于1.59分米的零件有20個(gè),其長(zhǎng)度分別為1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.74,以這120個(gè)零件在各組的長(zhǎng)度的頻率估計(jì)整批零件在各組長(zhǎng)度的概率.
(1)求這批零件的長(zhǎng)度大于1.60分米的頻率,并求頻率分布直方圖中,,的值;
(2)若從這批零件中隨機(jī)選取3個(gè),記為抽取的零件長(zhǎng)度在的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果這批零件的長(zhǎng)度(單位:分米)滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,則認(rèn)為這批零件是合格的將順利被簽收;否則,公司將拒絕簽收.試問,該批零件能否被簽收?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米.
(1)求橋AB的長(zhǎng)度;
(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)、橋墩CD每米造價(jià)(萬元)(k>0).問為多少米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過圓:上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點(diǎn)的,兩點(diǎn).
(i)求證:;
(ii)求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,,P是坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且直線,的斜率之積等于.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)某同學(xué)對(duì)軌跡C的性質(zhì)進(jìn)行探究后發(fā)現(xiàn):若過點(diǎn)且傾斜角不為0的直線與軌跡C相交于M,N兩點(diǎn),則直線,的交點(diǎn)Q在一條定直線上.此結(jié)論是否正確?若正確,請(qǐng)給予證明,并求出定直線方程;若不正確,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與交于,兩點(diǎn),與交于,兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人堅(jiān)持跑步鍛煉,根據(jù)他最近20周的跑步數(shù)據(jù),制成如下條形圖:
根據(jù)條形圖判斷,下列結(jié)論正確的是( )
A.周跑步里程逐漸增加
B.這20周跑步里程平均數(shù)大于30km
C.這20周跑步里程中位數(shù)大于30km
D.前10周的周跑步里程的極差大于后10周的周跑步里程的極差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為,點(diǎn)是軌跡為上不同于的兩點(diǎn),且滿足,求證:的面積為定值.
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