Question

【題目】如圖所示，已知拋物線C1：x2＝2py的焦點(diǎn)在拋物線C2：，點(diǎn)P是拋物線C1上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線C1的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線，M，N分別為兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線MN的距離為d，求d的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由題意拋物線C1的焦點(diǎn)為拋物線C2的頂點(diǎn)（0，1），由此算出p=2，從而得到拋物線C1的方程，得到C1的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)P（2t，t2），用直線方程的點(diǎn)斜式列出直線PM方程并將點(diǎn)P坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)可得 同理得到．然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，算出x1+x2=4t，x1x2=2t2﹣2，將直線MN的兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)并代入前面算出的式可得MN的方程為y=2tx+2﹣t2．最后利用點(diǎn)到直線的距離公式列式，采用換元法并且運(yùn)用基本不等式求最值，即可算出P到直線MN的距離d的最小值為．

(1)C1的焦點(diǎn)為，所以＝0＋1，得p＝2.故C1的方程為x2＝4y，其準(zhǔn)線方程為y＝－1.

(2)設(shè)P(2t，t2)，M，N，則PM的方程為y－＝x1(x－x1)，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得t2＝2tx1－x＋1，即x－4tx1＋2t2－2＝0，同理得x－4tx2＋2t2－2＝0.MN的方程為y－＝ (x－x1)，即y－＝ (x1＋x2)(x－x1)．

由得x1＋x2＝4t， x－2tx1＝1－t2，所以直線MN的方程為y＝2tx＋2－t2.

于是d＝＝2.

令s＝1＋4t2(s≥1)，則d＝≥＝ (當(dāng)且僅當(dāng)s＝3時(shí)取等號(hào))，

所以d的最小值為.