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已知向量
a
=(sinx，2co
s2 
x)，
b
=(2
3
cosx，-1)，函數f(x)=
a
•
b
+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的
1
2
倍；再把所得到的圖象向左平移
π
6
個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
12
]上的值域．
（1）f（x）=
a
•
b
+1=2
3
sinxcosx-2cos2x+1=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
)，
∴函數f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π，
由-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，解得-
π
6
+kπ≤x≤kπ+
π
3
（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[-
π
6
+kπ，
π
3
+kπ]（k∈Z）；
（2）函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的
1
2
倍得到y(tǒng)=2sin(4x-
π
6
)，
再把所得到的圖象向左平移
π
6
個單位長度，得到函數y=g（x）=2sin[4(x+
π
6
)-
π
6
]=2cos4x，
當x∈[-
π
6
，
π
12
]時，4x∈[-
2π
3
，
π
3
]，
∴當x=0時，g（x）max=2；當x=-
π
6
時，g(x)min=2cos(-
2π
3
)=-1．
∴函數y=g（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
12
]上的值域為[-1，2]．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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