已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交軸于點(diǎn)，若直線與過點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)為．證明：線段的長為定值．
（1）；（2）定值為2，證明見解析．

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率、長軸與短軸的關(guān)系建立的方程可求得橢圓的方程；；（2）設(shè)，然后用此點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出、的方程，然后根據(jù)直線與圓相切性質(zhì)、平面幾何知識(shí)化為的關(guān)系，進(jìn)而確定其為定值．
試題解析：（1）由題意可得，得  ①．
又，即   ②，
解①②，得，
∴橢圓的方程為．
（2）由（1）知，設(shè)，則
直線的方程為，令，得．
直線的方程為，令，得．
設(shè)，則
＝，
，
∴＝．
∵，即，
∴＝，∴，即線段的長為定值2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.

（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)，求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得，求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，已知點(diǎn)B在直線l：上，且橢圓的離心率e =．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，求證：OM⊥MN．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切與點(diǎn)。

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線與的斜率之積為，求證：為定值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓M：的左，右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓M的離心率e的取值范圍是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的左焦點(diǎn)為與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn),連接,若,則橢圓的離心率
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知離心率為的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點(diǎn)、，是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則等于(     )
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案