Question

已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為5，從這個圓上任一點P向x軸作垂線PP'，垂足為P'，M為線段PP'上一點，且滿足：。
（I）求動點M的軌跡C的方程；
（II）若過點（3，0）且斜率為1的直線交曲線C于A、B兩點，求弦AB的長。

Answer 1

解：（Ⅰ）設點M（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），由，
可得：x=x₀，y=y₀，
P（x₀，y₀）在圓x²+y²=25上，
所以x₀²+y₀²=25，
將x₀=x，y₀=y，代入方程①，得，
故點M的軌跡C的方程為。
（Ⅱ）設A(x₁，y₁)， B (x₂，y₂)，
由已知，得直線方程：y=x-3，
 ，
將（2）代入（1）整理，得41x²-150x-175=0，
由韋達定理，得，
所以，
故弦AB的長度為。