（本小題滿分14分）

在數(shù)列中，，且前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍（）． (即

（1）寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng)；

（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．

 

【答案】

（1），；

（2），證明見(jiàn)解析

【解析】(1)此條件的本質(zhì)是，然后令n=1,2,3,4,5，求出前5項(xiàng)即可。

（2）根據(jù)求得的前5項(xiàng)可以歸納出,由于要證明的結(jié)論與n有關(guān)，可以考慮采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：證明要分兩個(gè)步驟進(jìn)行：（i）說(shuō)明n=1時(shí)命題成立。（2）先假設(shè)n=k時(shí)，命題成立；再證明n=k+1時(shí)，命題也成立，在證明時(shí)要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè)。

解：（1）由已知，，分別取，

得，，，

，所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，

．＿＿4分

（2）由（1）中的分析可以猜想．＿＿＿＿＿＿6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，公式顯然成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么由已知，

得，

即，所以，

即，又由歸納假設(shè)，得，

所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立．

由①和②知，對(duì)一切，都有成立． ----------14分

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當(dāng)x∈[0，
π
2
]  時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域．

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（本小題滿分14分）設(shè)橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。

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（本小題滿分14分）
已知=2，點(diǎn)（）在函數(shù)的圖像上，其中=.
(1)證明：數(shù)列}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（3）記，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷(xiāo)售價(jià)格及銷(xiāo)售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，第天()的銷(xiāo)售價(jià)格(單位：元)為，第天的銷(xiāo)售量為，已知該商品成本為每件25元.

（Ⅰ）寫(xiě)出銷(xiāo)售額關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）求該商品第7天的利潤(rùn)；

（Ⅲ）該商品第幾天的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

 

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（本小題滿分14分）已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.

⑴ 求，滿足的關(guān)系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

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