Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率 ，且過(guò)點(diǎn)Q
（1）求橢圓C的方程．
（2）橢圓C長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，定直線x=4與直線PA，PB分別交于M，N兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為k1 ， k2①證明 ；
②若E（7，0），過(guò)E，M，N三點(diǎn)的圓是否過(guò)x軸上不同于點(diǎn)E的定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C： 焦點(diǎn)在x軸上，由e= = ，即a=2c，

則b2=a2﹣c2=3c2，

由橢圓過(guò)點(diǎn)Q ，代入 ，解得：c=1，

∴a=2，b= ，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）解：①證明：由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（x，y），

則 ，

②設(shè)PA，PB的斜率分別為k1，k2，P（x0，y0），則k1k2=﹣ ，

可令PA：y=k1（x+2），則M（4，6k1），

PB：y=k2（x﹣2），則N（4，2k2），

又kEM=﹣ =﹣2k1，kEN=﹣ ，

∴kEMkEN=﹣1，

設(shè)圓過(guò)定點(diǎn)F（m，0），則 =﹣1，解得m=1或m=7（舍），

故過(guò)點(diǎn)E，M，N三點(diǎn)的圓是以MN為直徑的圓，過(guò)x軸上不同于點(diǎn)E的定點(diǎn)F（1，0）

【解析】（1）由題意可知：e= = ，即a=2c，b2=a2﹣c2=3c2 ， 將Q 代入橢圓方程，即可求得c的值，則求得a和b的值，即可求得橢圓C的方程；（2）①由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（x，y），由直線的斜率公式可知：則 ，②令PA：y=k1（x+2），則M（4，6k1），同理求得N（4，2k2），kEM=﹣ =﹣2k1 ， kEN=﹣ ， =﹣1，即可求得m=1，故過(guò)點(diǎn)E，M，N三點(diǎn)的圓是以MN為直徑的圓，過(guò)x軸上不同于點(diǎn)E的定點(diǎn)F（1，0）．