如右圖，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD.且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).

(1)求證：PB⊥DM；

（2）求CD與平面ADMN所成的角.

解法一：（1）證明：∵N是PB的中點(diǎn)，PA=AB，?

∴AN⊥PB.?

∵AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.?

從而PB⊥平面ADMN.?

∵DM 面ADMN,

∴PB⊥DM.?

 (2)如圖,取AD的中點(diǎn)C,連結(jié)BG,NG,

則BG∥CD,?

∴BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等.?

∵PB⊥平面ADMN,?

∴∠BGN是BG與平面ADMN所成的角.?

在Rt△BGH中,

sin∠BGN==.?

故CD與平面ADMN所成的角是arcsin.

解法二:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,設(shè)BC=1，則A（0，0，0）?，P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，,1），D（0，2，0）.? 

(1）∵·=（2，0，-2）·（1，-，1）=0，?

∴PB⊥DM.?

(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，?

∴PB⊥AD，又因?yàn)镻B⊥DM，?

∴PB⊥平面ADMN.

∵〈，〉的余角即是CD與平面ADMN所成的角.?

∵cos〈，〉==.?

∴CD與平面ADMN所成的角為arcsin.?

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD的三視圖如右圖．該棱錐中，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BC上移動(dòng)．
（I）畫(huà)出該棱錐的直觀圖并證明：無(wú)論點(diǎn)E在棱BC的何處，總有PE⊥AF；
（II）當(dāng)BE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)空間圖形的基本關(guān)系與公理、空間圖形的平行關(guān)系專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

如右圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(1)求三棱錐E—PAD的體積；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)空間圖形的平行關(guān)系、垂直關(guān)系專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

如右圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(1)求三棱錐E—PAD的體積；

(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如右圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角.若AE⊥PD,E為垂足,

(1)求證:BE⊥PD;

(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)

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