Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）證明：

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：

（1）將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不同根處理，令，求出，令可得的取值范圍．（2）由（1）知當(dāng)時， 在恒成立，令，可得n個不等式，將不等式兩邊分別相加可得結(jié)論．

試題解析：

（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

∵，

∴．

∵函數(shù) 在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)，

∴方程在有兩個不同根．

令，則，

①當(dāng)時，則恒成立，故在內(nèi)為增函數(shù)，顯然不成立．

②當(dāng)時，

則當(dāng)時， ，故在內(nèi)為增函數(shù)；

當(dāng)時， ，故在內(nèi)為減函數(shù)．

所以當(dāng)時， 有極大值，也為最大值，且．

要使方程有兩個不等實(shí)根，

則需，

解得.

綜上可知的取值范圍為.

（2）由（1）知：當(dāng)時， 在上恒成立，

∴，

，

，

┄

，

將以上個式子相加得：

，

即，

又，

所以，

所以．