Question

（2013•湖南模擬）已知向量

a

=(sinx，2co

s

2

x)，

b

=(2

3

cosx，-1)，函數f(x)=

a

•

b

+1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍；再把所得到的圖象向左平移

π

6

個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用數量積、兩角和差的正弦公式即可把f（x）化為asin（ωx+φ）的形式，進而即可得出周期及其單調區(qū)間；
（2）利用圖象變換的法則即可得到y=g（x），再利用三角函數的單調性即可得出值域．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

+1=2

3

sinxcosx-2cos2x+1=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）．
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（2）函數y=f（x）的圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

倍得到y=2sin(4x-

π

6

)，
再把所得到的圖象向左平移

π

6

個單位長度，得到函數y=g（x）=2sin[4(x+

π

6

)-

π

6

]=2cos4x，
當x∈[-

π

6

，

π

12

]時，4x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴當x=0時，g（x）_max=2；當x=-

π

6

時，g(x)min=2cos(-

2π

3

)=-1．
∴函數y=g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

12

]上的值域為[-1，2]．

點評：熟練掌握數量積、兩角和差的正弦公式即可把f（x）化為asin（ωx+φ）的形式、三角函數周期及其單調性、圖象變換的法則是解題的關鍵．