Question

以拋物線y²=4x的焦點為右焦點的橢圓，上頂點為B₂，右頂點為A₂，左、右焦點為F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，過點D（0，2）的直線l，斜率為k（k＞0），l與橢圓交于M，N兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若M，N的中點為H，且

OH

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x軸上是否存在點Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形？如果存在，求出m的范圍；否則，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），∴橢圓中c=1，
∵|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，
∴b=

3

c=

3

，
∴a=2，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線代入橢圓方程得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∴△=12k²-3＞0，
∵k＞0，∴k＞

1

2

，
且x₁+x₂=

-16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∴MN的中點H（

-8k

4k2+3

，

6

4k2+3

），
∵

OH

∥

A2B2

，
∴

6 4k2+3

-8k 4k2+3

=

3 -0

0-2

，
∴k=

3

2

＞

1

2

，
∴k=

3

2

；
（3）設(shè)在x軸上存在點Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形，則HQ⊥MN，
∴

6 4k2+3 -0

-8k 4k2+3 -m

•k=-1，
∴m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

≥-

2

2 4k• 3 k

=-

3

6

，
當且僅當4k=

3

k

，即k=

3

2

時取等號，
又m=-

2k

4k2+3

＜0，
∴在x軸上存在點Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形，m范圍是[-

3

6

，0）．