如圖,已知點(diǎn)H(-3,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸上,其橫坐標(biāo)不小于零,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足
(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)過定點(diǎn)F(1,0)作互相垂直的直線l與l',l與(1)中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn),l'與(1)中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn),求四邊形ADBE面積S的最小值;
(3)將(1)中的曲線C推廣為橢圓:,并將(2)中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F(1,0),求與(2)相類似的問題的解.

【答案】分析:(1)設(shè)出M的坐標(biāo),利用題意向量的關(guān)系,求得x和y的關(guān)系,進(jìn)而求得M的軌跡C.
(2)將直線l與l'的方程與軌跡C的方程聯(lián)立,分別求弦長,從而表達(dá)出四邊形ADBE面積S,再利用基本不等式求最小值;
(3)將直線l與l'的方程與橢圓的方程聯(lián)立,分別求弦長,從而表達(dá)出四邊形ADBE面積S,再利用基本不等式求最小值;
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),P(0,b),Q(a,0)(a≥0),易知,,由題設(shè),得其中a≥0,從而,且x≥0,
又由已知,得HP⊥PM,
當(dāng)b≠0時(shí),y≠0,此時(shí),得
又kPM=kPQ,故,,
,y2=4x(x≠0),
當(dāng)b=0時(shí),點(diǎn)P為原點(diǎn),HP為x軸,PM為y軸,點(diǎn)Q也為原點(diǎn),從而點(diǎn)M也為原點(diǎn),因此點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=4x,它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線;                                    (4分)
(2)由題設(shè),可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),直線l'的方程為,(k≠0),又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則由,消去x,整理得ky2-4y-4k=0,
,同理|DE|=4(1+k2),(7分)
,
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立,因此四邊形ADBE面積S的最小值為32.
(9分)
(3)當(dāng)k≠0時(shí)可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
,,(13分),
當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)等號(hào)成立.(17分)
當(dāng)k=0時(shí),易知,,得,
故當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)四邊形ADBE面積S有最小值.(18分)
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用,主要考查了橢圓的應(yīng)用,向量的基本性質(zhì).考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,考查利用基本不等式求最值問題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知點(diǎn)A(
3
,0),B(0,1),圓C是以AB為直徑的圓,直線l:
x=tcosφ
y=-1+tsinφ
,(t為參數(shù)).
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)過原點(diǎn)O作直線l的垂線,垂足為H,若動(dòng)點(diǎn)M0滿足2
OM
=3
OH
,當(dāng)φ變化時(shí),求點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•盧灣區(qū)二模)如圖,已知點(diǎn)H(-3,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸上,其橫坐標(biāo)不小于零,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足
HP
PM
=0
,
PM
=-
3
2
MQ

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)過定點(diǎn)F(1,0)作互相垂直的直線l與l',l與(1)中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn),l'與(1)中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn),求四邊形ADBE面積S的最小值;
(3)(在下列兩題中,任選一題,寫出計(jì)算過程,并求出結(jié)果,若同時(shí)選做兩題,
則只批閱第②小題,第①題的解答,不管正確與否,一律視為無效,不予批閱):
①將(1)中的曲線C推廣為橢圓:
x2
2
+y2=1
,并
將(2)中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F(1,0),求與(2)相類似的問題的解;
②(解答本題,最多得9分)將(1)中的曲線C推廣為橢圓:
x2
a2
+
y2
b2
=1
,并
將(2)中的定點(diǎn)取為原點(diǎn),求與(2)相類似的問題的解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•盧灣區(qū)二模)如圖,已知點(diǎn)H(-3,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸上,其橫坐標(biāo)不小于零,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足
HP
PM
=0
PM
=-
3
2
MQ

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)過定點(diǎn)F(1,0)作互相垂直的直線l與l',l與(1)中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn),l'與(1)中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn),求四邊形ADBE面積S的最小值;
(3)將(1)中的曲線C推廣為橢圓:
x2
2
+y2=1
,并將(2)中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F(1,0),求與(2)相類似的問題的解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年上海市盧灣區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知點(diǎn)H(-3,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸上,其橫坐標(biāo)不小于零,點(diǎn)M在直線PQ上,且滿足,
(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)過定點(diǎn)F(1,0)作互相垂直的直線l與l',l與(1)中的軌跡C交于A、B兩點(diǎn),l'與(1)中的軌跡C交于D、E兩點(diǎn),求四邊形ADBE面積S的最小值;
(3)(在下列兩題中,任選一題,寫出計(jì)算過程,并求出結(jié)果,若同時(shí)選做兩題,
則只批閱第②小題,第①題的解答,不管正確與否,一律視為無效,不予批閱):
①將(1)中的曲線C推廣為橢圓:,并
將(2)中的定點(diǎn)取為焦點(diǎn)F(1,0),求與(2)相類似的問題的解;
②(解答本題,最多得9分)將(1)中的曲線C推廣為橢圓:,并
將(2)中的定點(diǎn)取為原點(diǎn),求與(2)相類似的問題的解.

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