Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，有∠D=120°，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于點(diǎn)M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的對(duì)角線(xiàn)垂直及對(duì)角線(xiàn)平分頂角，再解直角三角形求出邊AC
（2）利用三點(diǎn)共線(xiàn)則向量共線(xiàn)，據(jù)向量共線(xiàn)的充要條件設(shè)出

AM

，

AC

共線(xiàn)的條件及

EM

，

EB

共線(xiàn)的條件，
兩等式聯(lián)立求出點(diǎn)M所在的位置，同理得到點(diǎn)N的位置，求出|MN|的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，由∠ADC=120°，得∠ADO=60°，
而∠AOD=90°，AD=1，得OD=

1

2

，OA=

3

2

，∴AC=

3

；
（2）設(shè)

AB

=a，

AD

=b，則

AM

=λ

AC

=λ(a+b)，而B(niǎo)、M、E三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴

EM

=u

MB

，即

AM

-

AE

=u(

AB

-

AM

)，∴(1+u)

AM

=u

AB

+

AE

，
即(1+u)λ(a+b)=ua+

1

2

b，有

(1+u)λ=u (1+u)λ= 1 2

，解得u=

1

2

，λ=

1

3

，
∴

AM

=

1

3

AC

，即|

AM

|=

1

3

|

AC

|，同理|

CN

|=

1

3

|

AC

|，得|

MN

|=

1

3

|

AC

|
由（1）得|

AC

|=

3

，∴|

MN

|=

1

3

|

AC

|=

3

3

．
即MN=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)、向量共線(xiàn)的充要條件、向量的運(yùn)算律及運(yùn)算法則．