Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取得極小值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線相互垂直？試說明你的結(jié)論；
（3）設(shè)f（x）表示的曲線為G，過點（1，-10）作曲線G的切線l，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取得極小值．得到對應(yīng)的條件，然后求出a，b，c，d．
（2）設(shè)兩點的坐標，求出對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，利用過此兩點處的切線相互垂直，得到導(dǎo)數(shù)之積為-1，然后判斷．
（3）設(shè)切點坐標，然后求切線方程，利用過點（1，-10），求出切點坐標，進而可得直線方程．
解答：解：（1）f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a，b，c，d∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以b=d=0．
即f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c．
當x=1時，f（x）取得極小值，
所以f'（1）=3a+c=0且，解得．
所以．
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得過此兩點處的切線相互垂直．
則由f'（x）=x²-1知兩點的切線的斜率分別為．
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以，，
所以，與矛盾，
所以假設(shè)不成立，即不存在兩點，使得過此兩點處的切線相互垂直．
（3）設(shè)切點坐標為P（x，y），則切線方程為，
因為過點（1，-10），所以，
消去y得，所以，
解得x=3，y=9-3=6，
即切點為（3，6）．
所以切線方程為8x-y-18=0．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的問題．綜合性較強，運算量較大．