Question

【題目】已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有 ＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P（x，y）滿足：

化簡(jiǎn)得y2=4x（x＞0）．

（2）解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）．

設(shè)l的方程為x=ty+m，由 得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，

于是 ①

又 ． （x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②

又 ，于是不等式②等價(jià)于 ③由①式，不等式③等價(jià)于m2﹣6m+1＜4t2④

對(duì)任意實(shí)數(shù)t，4t2的最小值為0，所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2﹣6m+1＜0，解得 ．

由此可知，存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有 ，且m的取值范圍 ．

【解析】（1）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，然后根據(jù)等量關(guān)系列方程整理即可．（2）首先由于過(guò)點(diǎn)M（m，0）的直線與開(kāi)口向右的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，則設(shè)該直線的方程為x=ty+m（包括無(wú)斜率的直線）；然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程；再根據(jù)韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，實(shí)現(xiàn) ＜0的等價(jià)轉(zhuǎn)化；最后通過(guò)m、t的不等式求出m的取值范圍．