Question

【題目】在雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為__________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

設(shè)，，，運(yùn)用三角形的重心坐標(biāo)，求得內(nèi)心的坐標(biāo)，可得，再結(jié)合雙曲線的定義和等積法，求得，再由雙曲線的離心率公式和第二定義，可得，將的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，運(yùn)用，，的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求離心率．

設(shè)，，，

可得重心，即，

設(shè)△的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，與邊的切點(diǎn)為，與邊上的切點(diǎn)為，

則△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相同．

由雙曲線的定義，．①

由圓的切線性質(zhì)，

，，，即有。

由，

則△的重心為，，即，

由△的面積為，

可得.②

由①②可得，

由右準(zhǔn)線方程，雙曲線的第二定義可得：

，解得，

即有，代入雙曲線的方程可得，可得，

可得雙曲線的離心率為．

故答案為：．