如圖,對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F的直線FAn交拋物線于另一點(diǎn)Bn(Sn,tn).Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).
(1)求證∠AnCnBn=90o;
(2)求證點(diǎn)Cn的縱坐標(biāo)是一個(gè)定值,并求這個(gè)定值;
(3)若|FC1|、|FC2|、|FC3|、…、|FCn|構(gòu)成首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列,求|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+…+|AnBn|.
證明:(1)對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F(0,1),所以可設(shè)直線的方程為 將它與拋物線方程聯(lián)立得, 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得……★ 對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率 故在處的切線的方程為: ,……① 類似地,可求得在處的切線的方程為:,……② 又故∠AnCnBn=90o (2)又由②-①得:, ……③ 將③代入①并注意得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1. (3)由拋物線定義知,,,又 故 而由兩點(diǎn)間的距離公式得: 故 故 所以, = |
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(Ⅰ)試證:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).試證:
|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1).
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