【題目】如圖,四邊形 為菱形,四邊形 為平行四邊形,設 與 相交于點 , .
(1)證明:平面 平面 ;
(2)若 與平面 所成角為60°,求二面角 的余弦值.
【答案】
(1)
證明:連接 ,
∵四邊形 為菱形,
∵ ,
在 和 中,
, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ 平面 ,
∵ 平面 ,
∴平面 平面 ;
(2)
解法一:過 作 垂線,垂足為 ,連接 ,
易得 為 與面 所成的角,
∴ ,
∵ ,
∴ 平面 ,
∴ 為二面角 的平面角,
可求得 ,
在 中由余弦定理可得: ,
∴二面角 的余弦值為 ;
解法二:如圖,在平面 內(nèi),過 作 的垂線,交 于 點,
由(1)可知,平面 平面 ,
∴ 平面 ,
∴直線 兩兩互相垂直,
分別 為 軸建立空間直角坐標系 ,
易得 為 與平面 所成的角,∴ ,
則 ,
,
設平面 的一個法向量為 ,則
且 ,
∴ ,且
取 ,可得平面 的一個法向量為 ,
同理可求得平面 的一個法向量為 ,
∴ ,
∴二面角 的余弦值為 .
【解析】(1)做輔助線,連接EG,通過證明△EAD和△EAB全等,得到ED=EB,即EG⊥BD。四邊形ABCD為菱形,則有AC⊥BD,故BD⊥平面ACFE,進而可以證明兩個平面垂直。(2)分別 為 軸建立空間直角坐標系 ,設出平面 的一個法向量為 ,利用法向量求出二面角B-EF-D的余弦值。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點,直線AE與直線x=3交于點M。
(1)(I)求橢圓C的離心率;
(2)(II)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率。
(3)(III)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說明理由。
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【題目】A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如下:
A組:10,11,12,13,14,15,16
B組:12,13,15,16,17,14,a
假設所有病人的康復時間互相獨立,從A,B兩組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙.
(Ⅰ)求甲的康復時間不少于14天的概率;
(Ⅱ)如果人康復時間的方差相等?(結(jié)論不要求證明)
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【題目】設函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)設a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍;
(3)求證:a2﹣3b>0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件.
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【題目】祖沖之之子祖暅是我國南北朝時代偉大的科學家,他在實踐的基礎(chǔ)上提出了體積計算的原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是,如果兩個等高的幾何體 在同高處截得的截面面積恒等,那么這兩個幾何體的體積相等.此即祖暅原理.利用這個原理求球的體積時,需要構(gòu)造一個滿足條件的幾何體,已知該幾何體三視圖 如圖所示,用一個與該幾何體的下底面平行相距為 h(0<h<2) 的平面截該幾何體,則截面面積為 ( )
A.
B.
C.
D.π(4-h2)
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【題目】已知 ,記關(guān)于 的不等式 的解集為 .
(1)若 ,求實數(shù) 的取值范圍;
(2)若 ,求實數(shù) 的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,設邊a,b,c所對的角為A,B,C,且A,B,C都不是直角,(bc﹣8)cosA+accosB=a2﹣b2 . (Ⅰ)若b+c=5,求b,c的值;
(Ⅱ)若 ,求△ABC面積的最大值.
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【題目】設函數(shù)f(x)=eax+λlnx,其中a<0,0<λ< ,e是自然對數(shù)的底數(shù)
(1)求證:函數(shù)f(x)有兩個極值點;
(2)若﹣e≤a<0,求證:函數(shù)f(x)有唯一零點.
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【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標準,其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=axb(a,b為大于0的常數(shù)).現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
尺寸(mm) | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
質(zhì)量(g) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
對數(shù)據(jù)作了初步處理,相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(Ⅰ)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的回歸方程;
(Ⅱ)按照某項指標測定,當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間( , )內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件,記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機變量ξ的分布列和期望.
附:對于一組數(shù)據(jù)(v1 , u1),(v2 , u2),…,(vn , un),其回歸直線u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估計分別為 = , = ﹣ .
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