Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，，化為：，.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

（2）在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，利用根的分布可得的范圍，再利用根與系數(shù)關(guān)系可得：，得，令.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

（1）解：∵函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

∴，化為：，，

令，則時(shí)取等號(hào).

.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）證明：在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

記，則，解得，

，

，

令，

，

記，

，

令在上單調(diào)遞增.

，

因此函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，使得，

當(dāng)；當(dāng)時(shí)，，

而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

而，

，

，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，

可得：，

即.