Question

設(shè)f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數(shù)，g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線x－1＝0對稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g(x)＝2a·(x－2)－4(a為常數(shù))

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)設(shè)a∈(6＋∞)，試判斷f(x)在[－1，1]上的單調(diào)性，并求使f(x)圖象的最高點(diǎn)落在直線y＝12上時(shí)相應(yīng)的a值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)(x，f(x))是函數(shù)f(x)圖象上任一點(diǎn) ∵f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，而點(diǎn)(x，f(x))關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)為(2－x，f(x))∴點(diǎn)(2－x，f(x))在函數(shù)y＝g(x)圖象上 ∴f(x)＝g(2－x)…… 設(shè)x∈[－1，0] 2－x∈[2，3] 這時(shí)f(x)＝g(2－x)＝－2ax＋ 又f(x)為偶函數(shù) ∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝g(2－x)＝2ax－ 綜上得f(x)＝ (2)由于f(x)為偶函數(shù)，先判斷函數(shù)f(x)在[0，1]上的單調(diào)性 設(shè)0≤＜≤1 則f()－f()＝…＝()[2a－4(＋＋)] ∵0＜＜3 且a＞6 ∴2a－4()＞0 而，∴f()＜f()即f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增 ∴f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減 又∵f(x)在[0，1]上的最大值為f(1)＝2a－4依題意有2a－4＝12 得a＝8 ∴當(dāng)a＞6時(shí)，a＝8使f(x)圖象上最高點(diǎn)落在y＝12上 或：∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝2ax－4∴(x)＝2a－又0≤≤1，a＞6 ∴(x)＞0∴(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，以下同上