Question

已知方程 x3+a=

4

x

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求方程x3+a=

4

x

的各個(gè)實(shí)根；
（2）若方程x3+a=

4

x

的各個(gè)根x1，x 2，…，xk(k≤4)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(xi，

4

xi

)(i=1，2，…，k)均在直線y=x的同側(cè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=0代入方程得，x3=

4

x

，從而解得方程的根；
（2）由題意x3+a=

4

x

，設(shè)f(x)=x3+a，g(x)=

4

x

，利用函數(shù)圖象的特征解決問題，先對(duì)a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)(

2

，2

2

)，(-

2

，-2

2

)的直線y=x的異側(cè)；②當(dāng)a＜0時(shí)，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個(gè)交點(diǎn)在同直線y=x的右側(cè)得出關(guān)于a的不等關(guān)系；當(dāng)a＞0時(shí)，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個(gè)交點(diǎn)在同直線y=x的左側(cè)
得出關(guān)于a的不等關(guān)系，最后解不等式組即可得出滿足條件的a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，x3=

4

x

解得x1=

2

或x2=-

2

…（2分）
（2）x3+a=

4

x

，設(shè)f(x)=x3+a，g(x)=

4

x

，
函數(shù)g(x)=

4

x

與y=x的圖象相交于兩點(diǎn)（2，2），（-2，-2）
函數(shù)y=x³與y=x的圖象相交于兩點(diǎn)（1，1），（-1，-1）…（4分）
①當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)(

2

，2

2

)，(-

2

，-2

2

)的直線y=x的異側(cè)…（5分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個(gè)交點(diǎn)在同直線y=x的右側(cè)，
需滿足

4 2 ＞23+a 4 -2 ＞-23+a

解得a＜-6；…（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，要使f（x）=x³+a與g(x)=

4

x

的兩個(gè)交點(diǎn)在同直線y=x的左側(cè)

需滿足

4 2 ＜23+a 4 -2 ＜-23+a

解得a＞6
所以滿足條件的a的取值范圍是（-∞，-6∪（6，+∞）…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．