橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸,它的短軸長為2,過焦點與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A,B兩點且|AB|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過定點N(1,0)的直線l交橢圓C于C、D兩點,交y軸于點P,若
PC
1
CN
,
PD
=λ2
DN
,求證:λ12為定值.
(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1

令x=-c,代入橢圓方程得,y=±
b2
a

所以2×
b2
a
=1,2b=2,
解得a=2,b=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1
;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=my-1,則P點坐標(biāo)為(0,
1
m

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2
聯(lián)立直線與橢圓的方程
x=my-1
x2
4
+y2=1
,得(m2+4)y2-2my-3=0,
∴y1+y2=
2m
m2+4
,y1y2=
-3
m2+4

又∵
PC
1
CN
,
PD
=λ2
DN
,
∴λ1=
1
m
-y1
y1
,λ2=
1
m
-y2
y2
,
∴λ12=
1
m
-y1
y1
+
1
m
-y2
y2
=
1
my1
+
1
my2
-2=
y1+y2
my1y2
-2=-
2
3
-2=-
8
3

即λ12為定值
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點分別為A(-
2
,0)、B(
2
,0),離心率e=
2
2
.過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,點C在QP的延長線上,且|PC|=(
2
-1)|PQ|.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動點C的軌跡E的方程;
(3)設(shè)直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點,且|MN|=
8
2
7
,求直線MN的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
,橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),C2的離心率為
2
2
,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

過(2,0)點且傾斜角為60°的直線與橢圓
x2
5
+
y2
3
=1
相交于A,B兩點,則AB中點的坐標(biāo)為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

過x軸上動點A(a,0)引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ,P、Q為切點.
(1)若切線AP,AQ的斜率分別為k1和k2,求證:k1•k2為定值,并求出定值;
(2)求證:直線PQ恒過定點,并求出定點坐標(biāo);
(3)當(dāng)
S△APO
PQ
最小時,求
AQ
AP
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4沒有公共點,則實數(shù)k的取值范圍為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
和拋物線C2:y2=2px(p>0),過點M(1,0)且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B,與橢圓交于C、D,當(dāng)|AB|:|CD|=5:3時,求p的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點P(-1,
3
2
)
是橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一點,F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點,O是坐標(biāo)原點,PF1⊥x軸.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓E上兩個動點,是否存在λ,滿足
PA
+
PB
PO
(0<λ<4,且λ≠2),且M(2,1)到AB的距離為
5
?若存在,求λ值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

斜率為2的直線l與雙曲線
x2
3
-
y2
2
=1
交于A,B兩點,且|AB|=4,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案