Question

（2014•蘭州一模）【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接OD交圓O于點(diǎn)M．
（1）求證：O、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）求證：2DE²=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析：（1）連接BE、OE，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到BE⊥EC，從而得出DE=BD=

1

2

BC，由此證出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圓內(nèi)接四邊形形的判定定理得到O、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）延長(zhǎng)DO交圓O于點(diǎn)H，由（1）的結(jié)論證出DE為圓O的切線(xiàn)，從而得出DE²=DM•DH，再將DH分解為DO+OH，并利用
OH=

1

2

AB和DO=

1

2

AC，化簡(jiǎn)即可得到等式2DE²=DM•AC+DM•AB成立．

解答：解：（1）連接BE、OE，則
∵AB為圓0的直徑，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，
又∵D是BC的中點(diǎn)，
∴ED是Rt△BEC的中線(xiàn)，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（2）延長(zhǎng)DO交圓O于點(diǎn)H，
∵DE⊥OE，OE是半徑，∴DE為圓O的切線(xiàn)．
可得DE²=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=

1

2

AB，OD為△ABC的中位線(xiàn)，得DO=

1

2

AC，
∴DE2=DM•(

1

2

AC)+DM•(

1

2

AB)，化簡(jiǎn)得2DE²=DM•AC+DM•AB．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理與判定、直徑所對(duì)的圓周角、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．