Question

10．已知函數(shù)f（x）=（3-a）x-2+a-2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a≤3，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）＞x在（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=（3-a）-\frac{2}{x}（x＞0）$，通過當(dāng)a＜3時，當(dāng)a=3時，當(dāng)a＜3時，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化不等式（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，分離變量，構(gòu)造函數(shù)，通過形式的單調(diào)性，求解最值，然后推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=（3-a）-\frac{2}{x}（x＞0）$，…（1分）
當(dāng)a＜3時，由f'（x）＞0，得$x＞\frac{2}{3-a}$，
由f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{2}{3-a}$，…（3分）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{2}{3-a}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{2}{3-a}）$．…（4分）
當(dāng)a=3時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），…（5分）
綜上，當(dāng)a=3時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＜3時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{2}{3-a}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{2}{3-a}）$．…（6分）
（Ⅱ）由題意得（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，
即對$x∈（0，\frac{1}{2}）$，$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，…（7分）
令$g（x）=2-\frac{2lnx}{x-1}$，則${g^/}（x）=\frac{{2lnx+\frac{2}{x}-2}}{{{{（x-1）}^2}}}$，…（8分）
再令$h（x）═2lnx+\frac{2}{x}-2，x∈（0，\frac{1}{2}）$，則${h^/}（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=-\frac{2（1-x）}{x^2}＜0$，
故h（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數(shù)，于是$h（x）＞h（\frac{1}{2}）=2-2ln2＞0$，…（10分）
從而g′（x）＞0，所以g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是增函數(shù)，$g（x）＜g（\frac{1}{2}）=2-4ln2$，…（11分）
故要$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a≥2-4ln2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2-4ln2，+∞）．…（12分）
（其他做法酌情給分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．