Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）試討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）通過導(dǎo)函數(shù)的正負來判斷的單調(diào)增區(qū)間（2）討論參數(shù)，利用求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再通過最小值和的比較來判斷零點.

（1）若，，函數(shù)定義域為

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.

若，，，根據(jù)函數(shù)定義域知.

若，，則有，此時單調(diào)遞增.

若，當時，有，此時單調(diào)遞減；

當時，有，此時單調(diào)遞增.

綜上，若，單調(diào)遞增區(qū)間為，

若，單調(diào)遞增區(qū)間為，

若，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）若，有最小值，此時有一個零點.

若，.

又因為單調(diào)遞增，所以只有一個零點.

若，是的最小值點，

當時，，不存在零點.

當時，，有一個零點.

當時，，而.并且當時，有，此時單調(diào)遞減，故在必存在一個零點.

而， 當時，有，此時單調(diào)遞增.故在必存在一個零點.

綜上，有兩個零點.