Question

如圖，某海面上有O、A、B三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），A島在O島的東北方向20

2

km處，B島在O島的正東方向10km處．
（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，1km為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，試寫(xiě)出A、B的坐標(biāo)，并求A、B兩島之間的距離；
（2）已知在經(jīng)過(guò)O、A、B三個(gè)點(diǎn)的圓形區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在O島的南偏西30°方向距O島20km處，正沿東北方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？

Answer 1

分析：（1）如圖所示：由已知A在O的東北方向20

2

km，B在O的正東方向10km．即可得到A(20

2

cos45°，20

2

sin45°)．再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得到|AB|．
（2）設(shè)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．將O（0，0）、A（20，20），B（10，0）代入上式即可解得D，E，F(xiàn)．即可得到圓的方程．得到圓心與半徑．設(shè)船起初所在的點(diǎn)為C，則C(-10，-10

3

)，且該船航線所在直線的斜率為1，由點(diǎn)斜式方程即可得到直線方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式即可圓心到直線的距離，再與半徑比較即可．

解答：解：（1）如圖所示：∵A在O的東北方向20

2

km，B在O的正東方向10km．
∴A(20

2

cos45°，20

2

sin45°)，即A（20，20），B（10，0）．
由兩點(diǎn)間的距離公式知|AB|=

(20-10)2+202

=10

5

km．
（2）設(shè)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
將O（0，0）、A（20，20），B（10，0）代入上式得：

F=0 202+202+20D+20E+F=0 102+10D+F=0

，
解得：D=-10，E=-30，F(xiàn)=0．
∴圓的方程為x²+y²-10x-30y=0．圓心為（5，15），r=5

10

．
設(shè)船起初所在的點(diǎn)為C，則C(-10，-10

3

)，
且該船航線所在直線的斜率為1，
由點(diǎn)斜式方程知：y+10

3

=x+10
即：x-y+10-10

3

=0．
圓心到此直線的距離d=

|5-15+10-10 3 |

2

=5

6

＜5

10

．
∴有觸礁的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般式方程、點(diǎn)到直線的距離公式等是解題的關(guān)鍵．