Question

在數(shù)列中，對(duì)于任意，等式成立，其中常數(shù).

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（Ⅲ）如果關(guān)于n的不等式的解集為，求b和c的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image001.png">，       

 所以，，            

解得 ，.          ………………………… 3分

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，由，     ①

得，               ②

將①，②兩式相減，得 ,  

化簡(jiǎn)，得，其中.         ………………… 5分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image004.png">，

所以 ，其中.      ………………………… 6分

因?yàn)?為常數(shù)，   

所以數(shù)列為等比數(shù)列.     …………………… 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分

 所以

， 11分

 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image016.png">，

所以不等式化簡(jiǎn)為，

 當(dāng)時(shí)，考察不等式的解，

由題意，知不等式的解集為，

因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，

所以只要求 且即可，

解得；     …………………… 13分

當(dāng)時(shí)，考察不等式的解，

由題意，要求不等式的解集為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image029.png">，

所以如果時(shí)不等式成立，那么時(shí)不等式也成立，

這與題意不符，舍去.

所以，.                  ………………………… 14分

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810203996072411/SYS201209081021202619985592_DA.files/image032.png">，       

 所以，，            

解得 ，. 

（2）采用整體的思想，作差法得到通項(xiàng)公式的表示，進(jìn)而得到結(jié)論。

（3）由（Ⅱ），得，      ……………………… 9分

 所以

然后求和化簡(jiǎn)得到。