【題目】如圖,已知雙曲線C1: ,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內(nèi)一點,若存在過點P的直線與C1 , C2都有公共點,則稱P為“C1﹣C2型點”
(1)在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線y=kx與C2有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C1﹣C2型點”;
(3)求證:圓x2+y2= 內(nèi)的點都不是“C1﹣C2型點”
【答案】
(1)解:C1的左焦點為( ),寫出的直線方程可以是以下形式:
或 ,其中
(2)證明:因為直線y=kx與C2有公共點,
所以方程組 有實數(shù)解,因此|kx|=|x|+1,得 .
若原點是“C1﹣C2型點”,則存在過原點的直線與C1、C2都有公共點.
考慮過原點與C2有公共點的直線x=0或y=kx(|k|>1).
顯然直線x=0與C1無公共點.
如果直線為y=kx(|k|>1),則由方程組 ,得 ,矛盾.
所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無公共點.
因此原點不是“C1﹣C2型點”
(3)證明:記圓O: ,取圓O內(nèi)的一點Q,設有經(jīng)過Q的直線l與C1,C2都有公共點,顯然l不與x軸垂直,
故可設l:y=kx+b.
若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=﹣x±1之間,因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=﹣kx±1之間,
從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點,矛盾,所以|k|>1.
因為l與C1由公共點,所以方程組 有實數(shù)解,
得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0.
因為|k|>1,所以1﹣2k2≠0,
因此△=(4kb)2﹣4(1﹣2k2)(﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0,
即b2≥2k2﹣1.
因為圓O的圓心(0,0)到直線l的距離 ,
所以 ,從而 ,得k2<1,與|k|>1矛盾.
因此,圓 內(nèi)的點不是“C1﹣C2型點”
【解析】(1)由雙曲線方程可知,雙曲線的左焦點為( ),當過左焦點的直線的斜率不存在時滿足左焦點是“C1﹣C2型點”,當斜率存在時,要保證斜率的絕對值大于等于該焦點與(0,1)連線的斜率;(2)由直線y=kx與C2有公共點聯(lián)立方程組有實數(shù)解得到|k|>1,分過原點的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠點的直線不可能同時與C1和C2有公共點;(3)由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=﹣x±1之間,進而說明當|k|≤1時過圓 內(nèi)的點且斜率為k的直線與C2無公共點,當|k|>1時,過圓 內(nèi)的點且斜率為k的直線與C2有公共點,再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍,結(jié)果與|k|>1矛盾.從而證明了結(jié)論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解點到直線的距離公式的相關知識,掌握點到直線的距離為:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的零點和極值;
(3)若對任意,都有成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,當P(x,y)不是原點時,定義P的“伴隨點”為P′( , );當P是原點時,定義P的“伴隨點”為它自身,平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構(gòu)成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題:
①若點A的“伴隨點”是點A′,則點A′的“伴隨點”是點A;
②單位圓的“伴隨曲線”是它自身;
③若曲線C關于x軸對稱,則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱;
④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.
其中的真命題是(寫出所有真命題的序列).
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90°.
(1)在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系中,已知直線: (為參數(shù)),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)設點的極坐標為,直線與曲線的交點為, ,求的值.
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【題目】已知邊長為 的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿對角線BD折成二面角A﹣BD﹣C為120°的四面體ABCD,則四面體的外接球的表面積為( )
A.25π
B.26π
C.27π
D.28π
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【題目】(1)已知是奇函數(shù),求常數(shù)m的值;
(2)畫出函數(shù)的圖象,并利用圖象回答:k為何值時,方程 無解?有一解?有兩解?
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【題目】下列說法:①設有一個回歸方程,變量增加一個單位時,平均增加個單位;②線性回歸直線必過必過點;③在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,從獨立性檢驗知,有的把握認為吸煙與患肺病有關系時,我們說某人吸煙,那么他有的可能患肺;其中錯誤的個數(shù)是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當x∈(0,e]時,求g(x)=e2x﹣lnx的最小值;
(3)當x∈(0,e]時,證明:e2x﹣lnx﹣ > .
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