Question

【題目】己知：f（x）＝（2－x）＋a（x－1）2 （a∈R）

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：

（2）若對任意的x∈R，都有f（x）≤2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在

，上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上遞減在上遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上遞減;（2）孤立a,

【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)f’（x）＝，分類討論得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意的x∈R，都有f（x）≤2等價(jià)于a（x－1）2≤對任意的x∈R恒成立，當(dāng)時(shí)，，記，求出的最小值即可.

試題解析：

（1）由f（x）＝（2－x）＋a（x－1）2，得：f’（x）＝,

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上遞減，在上遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上遞減在上遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上遞減;

（2）（2－x）＋a（x－1）2≤2對任意的x∈R恒成立，

等價(jià)于a（x－1）2≤對任意的x∈R恒成立.

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，記

,∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

的最小值在，取到，經(jīng)比較最小值為：

故.