Question

由曲線y=x²和直線y=t²（0＜t＜1），x=1，x=0所圍成的圖形（陰影部分）的面積的最小值是多少？

Answer 1

解：根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為

=（t²x-x³）+（x³-t²x）
=
求導(dǎo)數(shù)，得S'（t）=4t²-2t=4t（t-）
令S'（t）=0得或t=0…（6分）
∵0時，S'（t）＜0；＜t＜1時，S'（t）＞0
∴函數(shù)S（t）在上是減函數(shù)；在（，1）上是增函數(shù)
因此，當(dāng)時，函數(shù)S（t）取極小值，并且這個極小值也是函數(shù)的最小值．
∴陰影部分的面積S（t）的最小值是S（）=．
分析：根據(jù)定積分的幾何意義，陰影部分的面積為y=t²-x²在[0，t]上的積分值，加上y=x²-t²在[t，1]上的積分值所得的和．由積分計算公式，算出S（t）=，再通過求導(dǎo)討論S（t）的單調(diào)性，得當(dāng)t=時，S（t）有最小值為，即得陰影部分面積的最小值．
點評：本題給出曲線圍成的圖形，求圖形面積的最小值，著重考查了定積分的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，屬于中檔題．