Question

10．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（1）請將如表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點向左平行移動$\frac{π}{3}$個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的圖象離原點O最近的對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)列關(guān)于ω、φ的二元一次方程組，求得A、ω、φ的值，得到函數(shù)解析式，進一步完成數(shù)據(jù)補充．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A=3，ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{4}$．數(shù)據(jù)補全如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函數(shù)表達式為f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
（2）由（1）知f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），
因此g（x）=3sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）．
因為y=sinx的對稱中心為（kπ，0），k∈Z，
令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，解得x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
其中離原點O最近的對稱中心為$（{\frac{π}{6}，0}）$．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，是中檔題．