Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4=2且,數(shù)列滿足 ,

(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

(2)是否存在正整數(shù)，(1<)，使得成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) 存在符合.

【解析】分析：（1）2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)，2Sn= nan－n，兩式做查得到an＋2＋an=2an＋1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2），成等比數(shù)列，即，代入表達(dá)式可得，分析得到結(jié)果.

詳解：

(1) 由已知得2Sn= nan－n① ,

故當(dāng)n=1時(shí)，2S1=a1－1，即a1＝－1，

又2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)②，

②－①得2Sn＋1－2Sn=(n＋1)an＋1－nan－1，

即(n－1)an＋1－nan－1=0 ③，

又nan＋2－(n＋1)an＋1－1=0④

④－③得，nan＋2－2nan＋1＋nan=0，

即an＋2＋an=2an＋1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

(2)因?yàn)?/span>a1＝－1，a4=2，所以公差為1

an＝－1＋(n－1)×1=n－2，所以

假設(shè)正整數(shù)，(1<)，使得成等比數(shù)列，即，

可得，

又

當(dāng)時(shí),關(guān)于遞減,(同理當(dāng)時(shí),關(guān)于遞減)

當(dāng)時(shí),符合,此時(shí),易得,不滿足

當(dāng)時(shí), 符合,此時(shí),此時(shí)

當(dāng)時(shí), ,不符合

綜上: 存在符合.