Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓半徑為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓截得線段,

當(dāng)軸時(shí)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得到的關(guān)系，結(jié)合已知條件，可求橢圓方程。

（2）在（1）的條件下，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，再由直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，即可得到所求定點(diǎn)，切記在斜率不存在時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。

解：（1）由題意及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，得①

將代入，結(jié)合②，得，

所以③，由①②③得

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意得或，

直線的方程為

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得，消去得，

由，得

）

由可得，

得，

整理得

由（1）和（2）得，解得或

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，

綜上直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.