Question

證明下列常見三角不等式
（1）若x∈（0，

π

2

），則sinx＜x＜tanx；
（2）若x∈（0，

π

2

），則1＜sinx+cosx≤

2

；
（3）|sinx|+|cosx|≥1．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）如圖所示，利用三角函數(shù)線的定義，可知sinx=MP，cosx=OM，x=

AP

，tanx=AT．從而即可證明結(jié)論．
（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊可得sinx+cosx＞1，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證明（sinx+cosx）²≤2．從而證明1＜sinx+cosx≤

2

成立．
（3）分x≠

kπ

2

和x=

kπ

2

兩種情況討論，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊以及三角函數(shù)線即可得到結(jié)論．

解答： 證明：如圖由三角函數(shù)線的定義可知，
sinx=MP，cosx=OM，x=

AP

，tanx=AT．
（1）∵x∈（0，

π

2

），時(shí)
S△AOP=

1

2

|OA|•|MP|=

1

2

sinx，
S扇形AOP=

1

2

AP

•|OA|=

x

2

，
S△AOT=

1

2

|OA|•|AT|=

1

2

tanx，
且S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_AOT．
∴

1

2

sinx＜

x

2

＜

1

2

tanx
即sinx＜x＜tanx．
（2）∵x∈（0，

π

2

）時(shí)，OM＞0，MP＞0，OP＞0，
由三角形兩邊之和大于第三邊知，
OM+MP＞OP，
∴sinx+cosx＞1．
∵（sinx+cosx）²
=1+2sinxcosx
≤1+sin²x+cos²x
=2，
∴sinx+cosx≤

2

，
∴1＜sinx+cosx≤

2

．
（3）當(dāng)x≠

kπ

2

時(shí)，
由三角形兩邊之和大于第三邊知，
|OM|+|MP|＞|OP|，
當(dāng)x=

kπ

2

時(shí)，
|OM|+|MP|=|OP|，
∴|sinx|+|cosx|≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)線的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形三邊的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．