已知數(shù)學(xué)公式,當(dāng)mn取得最小值時(shí),直線數(shù)學(xué)公式與曲線數(shù)學(xué)公式交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.

2
分析:由均值不等式1=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以m=2,n=4.故.①當(dāng)x>0,y>0,表示的橢圓;②當(dāng)x>0,y<0,表示以x軸為實(shí)軸的雙曲線;③當(dāng)x<0,y>0,表示以y軸為實(shí)軸的雙曲線;④當(dāng)x<0,y<0,表示,因?yàn)樽筮吅恪?所以不可能=右邊,所以此時(shí)無解.作出圖象能得到結(jié)果.
解答:解:由均值不等式
1=
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
也就是,
所以m=2,n=4.
,

①當(dāng)x>0,y>0,
表示的橢圓;
②當(dāng)x>0,y<0,
表示以x軸為實(shí)軸的雙曲線;
③當(dāng)x<0,y>0,
表示以y軸為實(shí)軸的雙曲線;
④當(dāng)x<0,y<0,
表示
因?yàn)樽筮吅恪?所以不可能=右邊,
所以此時(shí)無解.
所以如圖得到圖象,
結(jié)合圖象知直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè).
故答案為:2.
點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,解題時(shí)要注意均值定理和分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,常因分類不清易出錯(cuò),是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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