Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，△ABD沿對角線BD翻折，形成三棱錐A﹣BCD．

①當時，三棱錐A﹣BCD的體積為；

②當面ABD⊥面BCD時，AB⊥CD；

③三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為定值．

以上命題正確的是_____．

Answer 1

【答案】③

【解析】

在①中，由題意可得平面ACD，利用即能求出三棱錐A﹣BCD的體積；在②中，過點A作AE⊥平面BCD，交BD于E，則AE⊥CD，即可得 AB與CD不垂直；在③中，三棱錐A﹣BCD外接球的球心為O，半徑為，從而三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為定值．

∵在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，

∴AC=BD，

△ABD沿對角線BD翻折，形成三棱錐A﹣BCD．

在①中，當時, ，，

∴，，

又，∴平面ACD，

∴，故①錯誤；

在②中，當面ABD⊥面BCD時，過點A作AE⊥平面BCD，交BD于E，

則AE⊥CD，又CD與平面ABD不垂直，故AB與CD不垂直，故②錯誤；

在③中，取BD的中點O，連接OA、OC，

∵OA＝OB＝OC＝OD，

∴三棱錐A﹣BCD外接球的球心為O，半徑為，

∴三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為定值，故③正確．

故答案為：③．