【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過橢圓 右焦點(diǎn)的直線 交橢圓C于M,N兩點(diǎn),P為M,N的中點(diǎn),且直線OP的斜率為
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由題意,直線 與x軸交點(diǎn)F( ,0),則c= , 設(shè)M(x1 , y1)、N(x2 , y2),P(xP , yP),2xP=x1+x2 , 2yP=y1+y2 ,
直線OP的斜率k= ,
則:
整理得: + =0,
=﹣ =﹣
由直線MN的斜率k= =﹣ ×3=﹣1,整理得:a2=3b2=3(a2﹣c2),
又c= ,解得:a2=3,b2=1,
∴橢圓C的方程為: ;
(Ⅱ)由題意,①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),O到直線l的距離為 ,
將x=± 代入橢圓方程,解得:y=± ,則丨AB丨=2丨y丨= ;
當(dāng)直線斜率為O時(shí),將y=± ,代入橢圓方程,解得:x=±
則丨AB丨=2丨x丨= ;
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)且不為0時(shí),
設(shè)直線l的方程為:y=kx+m(k,m∈R且k≠0),
由題意,原點(diǎn)0到直線l的距離為 ,
,則m2= (k2+1).
設(shè)A(x1 , y1)、B(x2 , y2),
則: ,(1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣1)=,
由題意△>0,x1+x2=﹣ ,x1x2=
丨AB丨2=(1+k2)[(x1+x2)﹣4x1x2]=(1+k2)[(﹣ 2﹣4× ],
=(1+k2
= ,
= =3+ ,
=3+ ≤3+ =4,
當(dāng)且僅當(dāng)9k2= ,即k=± 時(shí)等號(hào)成立,丨AB丨max=2,
綜上所述,當(dāng)直線l的斜率k=± 時(shí),
即丨AB丨max=2時(shí),△AOB面積的最大值,
最大值為S= ×丨AB丨max× =
△AOB面積的最大值
【解析】(Ⅰ)當(dāng)y=0時(shí),求得焦點(diǎn)F坐標(biāo),M,N代入橢圓方程,作差,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,化簡(jiǎn)求得MN的直線方程,即可求得a和b的關(guān)系,求得橢圓方程;(Ⅱ)由題意可知:當(dāng)丨AB丨最大時(shí),△AOB面積的最大值,將直線AB代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得丨AB丨的最大值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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則按照從左到右圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是(
A.①④③②
B.③④②①
C.④①②③
D.①④②③

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【題目】某廠用鮮牛奶在某臺(tái)設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時(shí),獲利1000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時(shí),獲利1200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過12小時(shí).假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布列為

W

12

15

18

P

0.3

0.5

0.2

該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個(gè)隨機(jī)變量.
(1)求Z的分布列和均值;
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1)判斷函數(shù)[-1,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

2)解不等式:;

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