Question

【題目】如圖，已知四棱錐的側棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD= CD=2，點M在側棱上．
（1）求證：BC⊥平面BDP；
（2）若側棱PC與底面ABCD所成角的正切值為 ，點M為側棱PC的中點，求異面直線BM與PA所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知可算得 ，∴BD2+BC2=16=DC2，

故BD⊥BC，

又PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，故PD⊥BC，

又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP

（2）解：如圖，取PD中點為N，并連結AN，MN，BM∥AN，

則∠PAN即異面直線BM與PA所成角；

又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即為PC與底面ABCD所成角，

即 ，∴ ，即 ，

又 ， ，則在△PAN中， = ，

即異面直線BM與PA所成角的余弦值為

【解析】（1）證明BD⊥BC，PD⊥BC，即可證明BC⊥平面BDP；（2）取PD中點為N，并連結AN，MN，則∠PAN即異面直線BM與PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出異面直線BM與PA所成角的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想即可以解答此題．