Question

【題目】已知函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=kx﹣2k+5，對任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]，使得f（m）=g（n）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=﹣1，y=1，則由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）

∴f（0）=﹣2

（2）解：令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2

∴f（x）=x2+x﹣2

（3）解：記f（x）=x2+x﹣2，x∈[1，4]，值域為A，g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，值域為B，

∵對任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]使f（m）=g（n），

∴AB

又f（x）=x2+x﹣2的對稱軸 ，

∴f（x）在[1，4]上單增，

∴f（x）min=0，f（x）max=18，

∴A=[0，18]

又g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]

①當k=0時，g（x）=5，

∴B={5}不合題意；

②當k＞0時，g（x）在[1，4]上單增，

∴B=[5﹣k，2k+5]，又AB

∴ ，

∴

③當k＜0時，g（x）在[1，4]上單減，

∴B=[2k+5，5﹣k]，又AB

∴ ，

∴k≤﹣13

所以k的取值范圍為：k≤﹣13或

【解析】（1）利用賦值法，令x=﹣1，y=1，可求f（0）（2）利用賦值法，令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1），結合f（0）=﹣2可求（3）設函數f（x）x∈[1，4]的值域為A，g（x），x∈[1，4]的值域為B，由題意可得AB，由二次函數的性質可求A，對g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，分類討論：①當k=0時，②當k＞0，③當k＜0時，結合函數g（x）在[1，4]上單調性可求B，從而可求k的范圍
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質和二次函數在閉區(qū)間上的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，當時，；當時在上遞減，當時，．