【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(3)在(2)的條件下,若有兩個(gè)零點(diǎn),,求證:.

【答案】(1)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2) 當(dāng)時(shí),恰有一個(gè)零點(diǎn):當(dāng)時(shí),沒有零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);(3)見解析

【解析】

1)求導(dǎo)后,分別在兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)最大值為,分別在,,三種情況下,結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)根據(jù)零點(diǎn)的定義可求得,令,,可將整理為;令,,可求得,結(jié)合即可證得結(jié)論.

(1)由題意得:

當(dāng)時(shí),上恒成立

上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí),若,,;若,

上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減

綜上所述:當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

(2)當(dāng)時(shí),,則

,解得:

當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞增

①當(dāng),即時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),恰有一個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng),即時(shí),恒成立,沒有零點(diǎn):

③當(dāng),即時(shí),,,

有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上:當(dāng)時(shí),恰有一個(gè)零點(diǎn):當(dāng)時(shí),沒有零點(diǎn);當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)

(3)證明:

由題意知:,即

,,則,故

,

記函數(shù),

上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí),

由(2)知,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB,且ABBP2,AD=AE=1,AEAB,且AEBP

(1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值;

(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,試確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求證:平面

(2)若平面 平面,求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.

(1)求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在圓上,動(dòng)線段的中點(diǎn)的軌跡為,與直線交點(diǎn)為,且直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo),求點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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【題目】是亞太區(qū)域國(guó)家與地區(qū)加強(qiáng)多邊經(jīng)濟(jì)聯(lián)系、交流與合作的重要組織,其宗旨和目標(biāo)是“相互依存、共同利益,堅(jiān)持開放性多邊貿(mào)易體制和減少區(qū)域間貿(mào)易壁壘.”2017年會(huì)議于11月10日至11日在越南峴港舉行.某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)會(huì)議的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了100名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分組區(qū)間分別為,,,,).

(1)求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù);

(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談,再?gòu)闹羞x取2人參與會(huì)議的宣傳活動(dòng),求參與宣傳活動(dòng)的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.

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【題目】近年來(lái),隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,諸如“滴滴打車”“神州專車”等網(wǎng)約車服務(wù)在我國(guó)各城市迅猛發(fā)展,為人們出行提供了便利,但也給城市交通管理帶來(lái)了一些困難.為掌握網(wǎng)約車在省的發(fā)展情況,省某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該省抽取了5個(gè)城市,分別收集和分析了網(wǎng)約車的兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù),數(shù)據(jù)如下表所示:

城市1

城市2

城市3

城市4

城市5

指標(biāo)數(shù)

2

4

5

6

8

指標(biāo)數(shù)

3

4

4

4

5

經(jīng)計(jì)算得:,.

(1)試求間的相關(guān)系數(shù),并利用說(shuō)明是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);

(2)建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)當(dāng)指標(biāo)數(shù)為7時(shí),指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值;

(3)若城市的網(wǎng)約車指標(biāo)數(shù)落在區(qū)間之外,則認(rèn)為該城市網(wǎng)約車數(shù)量過(guò)多,會(huì)對(duì)城市交通管理帶來(lái)較大的影響,交通管理部門將介入進(jìn)行治理,直至指標(biāo)數(shù)回落到區(qū)間之內(nèi).現(xiàn)已知2018年11月該城市網(wǎng)約車的指標(biāo)數(shù)為13,問(wèn):該城市的交通管理部門是否要介入進(jìn)行治理?試說(shuō)明理由.

附:相關(guān)公式:,,.

參考數(shù)據(jù):.

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(1)若函數(shù)上的最大值為1,求的值;

(2)若存在使得關(guān)于的不等式成立,求的取值范圍.

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(1)求證: 平面;

(2)若,三棱錐的體積為1,求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費(fèi)

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;

(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計(jì)值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.

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